算法与启发法

也有不少时候，比起脚踏实地按部就班进行解答的算法，选择借助直觉走捷径的启发法要更为高明。其中，高斯的例子较为出名。

在高斯10岁的时候，小学老师给班上学生布置了一项课堂作业：“把从1到100的数全部加起来。”趁学生们在拼命计算之时，老师刚想抽一支烟，没想到高斯立马就答出了正确答案“5050”。

高斯的解法是：1+2+3+…+100=101×100/2=5050。因为1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，像这样只是改了改数字的排列方式，计算所需的劳力就大幅下降了。

值得注意的是，一旦通过直观的灵感发现了这一解决方法，它就会作为“算法”被记录在大脑里，获得“逻辑性解答法”的地位。高斯的这一计算法，不仅能运用于从1～100的计算，作为一种逻辑性步骤，它还可以运用于0～100的所有偶数之和的运算，或是1～999的所有奇数之和的运算等多种多样的场合中。

小知识

逻辑算法的操作一：“两辆列车正以每小时20英里的速度相向行驶，假设有一只小鸟在两辆列车之间以每小时30英里的速度往复飞行。假设两辆列车出发时相距1000英里，直到小鸟被迎面相撞的两辆列车夹在中间时，小鸟的总飞行距离是多少？”

让我们来看看启发法的另一个例子，并对下述问题进行思考。“有四张扑克牌，两张黑，两张红，并都以背面朝上的方法摆放。同时随意翻开两张后，请问它们同色的概率是多少？”

这个问题只要运用穷举法一定能得出答案。把四张牌各自标注为红1、红2、黑1、黑2，进行组合并一一列举出来。红1红2、红1黑1、红1黑2、红2黑1、红2黑2、黑1黑2——共有上述6种组合，因为其中只有红1红2、黑1黑2这两种组合是同色，所以正确答案是三分之一。因为这是一种利用穷举法能够确确实实得出答案的解法，所以它是一种算法式解答。

这个解法很可靠，但有些费时间。如果我们按照下面这种方法就能迅速得出正确答案，即搞清楚一点，就算我们把“同时翻开两张”这个条件改为“先翻开第一张再翻开第二张”，概率也不会发生变化，因为时间差不会影响问题的主旨。这样一来，不管第一张翻出什么，剩下三张牌中同色的只有一张，而异色的则有两张，所以颜色一致的概率是三分之一。

小知识

逻辑算法的操作二：面对上页中提到小鸟在两车之间往复飞行的问题，冯·诺伊曼立即回答道：“750英里”，出题者则感叹道：“不愧是诺伊曼老师，普通人都要把小鸟的往复路程进行一一计算并全部累加起来啊。”诺伊曼歪了歪头，说道：“……可我也是这样做的啊。”看来超一流的数学家不仅会利用启发法，在这种拼硬实力的逻辑算法的操作上也十分快捷。